Все явления и процессы хозяйственной деятельности предприятий находятся во взаимосвязи и взаимообусловленности. Одни из них непосредственно связаны между собой, другие косвенно. Отсюда важным методологическим вопросом в экономическом анализе является изучение и измерение влияния факторов на величину исследуемых экономических показателей.
Факторный анализ в учебной литературе трактуется как раздел многомерного статистического анализа, объединяющий методы оценки размерности множества наблюдаемых переменных посредством исследования структуры ковариационных или корреляционных матриц.
Свою историю факторный анализ начинает в психометрике и в настоящее время широко используется не только в психологии, но и в нейрофизиологии, социологии, политологии, в экономике, статистике и других науках. Основные идеи факторного анализа были заложены английским психологом и антропологом Ф. Гальтоном . Разработкой и внедрением факторного анализа в психологии занимались такие ученые как: Ч.Спирмен, Л.Терстоун и Р.Кеттел . Математический факторный анализ разрабатывался Хотеллингом, Харманом, Кайзером, Терстоуном, Такером и другими учеными.
Данный вид анализа позволяет исследователю решить две основные задачи: описать предмет измерения компактно и в то же время всесторонне. С помощью факторного анализа возможно выявление факторов, отвечающих за наличие линейных статистических связей корреляций между наблюдаемыми переменными.
К примеру, анализируя оценки, полученные по нескольким шкалам, исследователь отмечает, что они сходны между собой и имеют высокий коэффициент корреляции, в этом случае он может предположить, что существует некоторая латентная переменная , с помощью которой можно объяснить наблюдаемое сходство полученных оценок. Такую латентную переменную называют фактором, который влияет на многочисленные показатели других переменных, что приводит к возможности и необходимости отметить его как наиболее общий, более высокого порядка.
Таким образом, можно выделить две цели факторного анализа :
Для выявления наиболее значимых факторов и, как следствие, факторной структуры, наиболее оправданно применять метод главных компонентов . Суть данного метода состоит в замене коррелированных компонентов некоррелированными факторами. Другой важной характеристикой метода является возможность ограничиться наиболее информативными главными компонентами и исключить остальные из анализа, что упрощает интерпретацию результатов. Достоинство данного метода также в том, что он - единственный математически обоснованный метод факторного анализа.
Факторный анализ - методика комплексного и системного изучения и измерения воздействия факторов на величину результативного показателя.
Существуют следующие типы факторного анализа:
1) Детерминированный (функциональный) - результативный показатель представлен в виде произведения, частного или алгебраической суммы факторов.
2) Стохастический (корреляционный) - связь между результативным и факторными показателями является неполной или вероятностной.
3) Прямой (дедуктивный) - от общего к частному.
4) Обратный (индуктивный) - от частного к общему.
5) Одноступенчатый и многоступенчатый.
6) Статический и динамический.
7) Ретроспективный и перспективный.
Также факторный анализ может быть разведочным - он осуществляется при исследовании скрытой факторной структуры без предположения о числе факторов и их нагрузках и конфирматорным , предназначенным для проверки гипотез о числе факторов и их нагрузках. Практическое выполнение факторного анализа начинается с проверки его условий.
Обязательные условия факторного анализа:
При анализе в один фактор объединяются сильно коррелирующие между собой переменные, как следствие происходит перераспределение дисперсии между компонентами и получается максимально простая и наглядная структура факторов. После объединения коррелированность компонент внутри каждого фактора между собой будет выше, чем их коррелированность с компонентами из других факторов. Эта процедура также позволяет выделить латентные переменные, что бывает особенно важно при анализе социальных представлений и ценностей.
Как правило, факторный анализ проводится в несколько этапов.
Этапы факторного анализа:
1 этап. Отбор факторов.
2 этап. Классификация и систематизация факторов.
3 этап. Моделирование взаимосвязей между результативным и факторными показателями.
4 этап. Расчет влияния факторов и оценка роли каждого из них в изменении величины результативного показателя.
5 этап. Практическое использование факторной модели (подсчет резервов прироста результативного показателя).
По характеру взаимосвязи между показателями различают методы детерминированного и стохастического факторного анализа
Детерминированный факторный анализ представляет собой методику исследования влияния факторов, связь которых с результативным показателем носит функциональный характер, т. е. когда результативный показатель факторной модели представлен в виде произведения, частного или алгебраической суммы факторов.
Методы детерминированного факторного анализа : Метод цепных подстановок; Метод абсолютных разниц; Метод относительных разниц; Интегральный метод; Метод логарифмирования.
Данный вид факторного анализа наиболее распространен, поскольку, будучи достаточно простым в применении (по сравнению со стохастическим анализом), позволяет осознать логику действия основных факторов развития предприятия, количественно оценить их влияние, понять, какие факторы, и в какой пропорции возможно и целесообразно изменить для повышения эффективности производства.
Стохастический анализ представляет собой методику исследования факторов, связь которых с результативным показателем в отличие от функциональной является неполной, вероятностной (корреляционной). Если при функциональной (полной) зависимости с изменением аргумента всегда происходит соответствующее изменение функции, то при корреляционной связи изменение аргумента может дать несколько значений прироста функции в зависимости от сочетания других факторов, определяющих данный показатель.
Методы стохастического факторного анализа : Способ парной корреляции; Множественный корреляционный анализ; Матричные модели; Математическое программирование; Метод исследования операций; Теория игр.
Необходимо также различать статический и динамический факторный анализ. Первый вид применяется при изучении влияния факторов на результативные показатели на соответствующую дату. Другой вид представляет собой методику исследования причинно-следственных связей в динамике.
И, наконец, факторный анализ может быть ретроспективным, который изучает причины прироста результативных показателей за прошлые периоды, и перспективным, который исследует поведение факторов и результативных показателей в перспективе.
Факторный анализ со статистической точки зрения связан с поиском новых признаков, характеризующих объекты наблюдения на основе имеющейся информации, которая содержится в измеренных значениях k исходных признаков. Всю информацию об п объектах наблюдения можно представить в виде матрицыили прямоугольной таблицы "объект – признак" (табл. 5.6).
Таблица 5.6
Таблица "объект (i) – признак (/)"
Для дальнейшего анализа удобнее использовать матрицу наблюдаемых стандартизованных признаков, которые тоже относятся к категории измеримых, как рассчитанных непосредственно по результатам произведенных наблюдений
Стандартизация производится в соответствии с заменой (5.3), но обычно неизвестные математические ожидания и дисперсии n"j заменяются их выборочными аналогами: выборочной средней
и несмещенной оценкой дисперсии
либо асимптотически несмещенной оценкой дисперсии
Средние значения стандартизованных переменных равны нулю (), а дисперсии – единице ().
Связь новых переменных с наблюдаемыми признаками в факторном анализе аналогична регрессионной, но с тем существенным отличием, что эти новые объясняющие переменные, или факторы, неизвестны и нуждаются в идентификации. В моделях факторного анализа используются общие и индивидуальные факторы. Общие факторы связаны значимыми коэффициентами более чем с одной измеримой переменной. Каждый из индивидуальных факторов v. связан только с однойу-й измеримой переменной. При этом обычно предполагается, что индивидуальные факторы некоррелированы между собой и с общими факторами. Кроме того, для удобства факторы выбираются как стандартизованные:
Второй индекс переменныхобозначает номер объекта наблюдения i - 1,2,..., п. Первый индекс j = 1,2,...,k характеризует номер исходного признака Zjj и соответствующего ему индивидуального эффекта vjY, а для g lt первый индекс / = 1,2,..., от обозначает номер общего фактора.
Коэффициенты при общих факторах можно свести в матрицу
а коэффициенты при индивидуальных факторах для дальнейшего матричного представления модели будут диагональными элементами в диагональной матрице
Включающая нагрузки всех факторов общая матрица коэффициентов, или матрица факторного отображения, будет представлять собой результат объединения элементов обеих матриц:
Матрица значений общих факторов представляет собой матрицу размерности т х п, где т < k:
Матрица значений индивидуальных факторов имеет размерность kxn:
Общая матрица значений факторов может быть образована как результат объединения матриц общих и индивидуальных факторов:
С учетом введенных обозначений модель факторного анализа в матричной форме может быть представлена в виде
Модель факторного анализа с учетом неполного содержания исходной информации об объектах исследования в новой системе координат меньшей размерности (m < k) неизбежно будет содержать помимо общности в виде информации об объектах в системе координат общих факторов и специфичность, представляемую в виде значений характерных факторов. В то же время с учетом случайности выборки и погрешности измерения нормированное наблюдаемое значение содержит истинное значение, индивидуальную особенность Indjj каждого объекта и ошибку измерения е":
В рамках статистического подхода под истинным значением понимается математическое ожидание признака, вторая и третья составляющие характеризуют отклонение отдельного показателя на данном объекте от среднего. Если первая составляющая является общей статистической характеристикой совокупности объектов исследования, то вторая и третья компоненты являются носителями особенностей, присущих данному объекту и методу измерения. В процессе управления важнейшим моментом являются знание и умение учитывать индивидуальные черты отдельных объектов исследования.
Характеристика вариативности – дисперсия – для нормированного значения наблюдаемого признака может быть представлена в следующем виде:
(5.14)
Ошибка измерения обычно оказывается значительно меньше вариативной компоненты, поэтому их часто объединяют . Однако поскольку вариативная составляющая и ошибки измерения возникают независимо друг от друга, то их рассматривают как некоррелированные.
Рассмотрим слагаемые, содержащие сомножитель, величина которого является дисперсией произвольного общего факторапосле нормировки:
Величина дисперсии нормированного общего фактора равна единице:
Рассмотрим в формуле (5.14) слагаемые, содержащие сомножитель . Это коэффициент корреляции между двумя общими факторами, т.е.
После введения обозначения для коэффициента корреляции общих и индивидуальных эффектов
выражение (5.14) можно представить в виде
Из этого представления следует, что
Так как характерный фактор присущ только данной)-й переменной и некоррелирован с общими факторами, тои выражение (5.15) можно упростить:
Дальнейшее упрощение может быть получено для некоррелированных общих факторов, когда и, тогда
В этом случае дисперсия признакаравна сумме относительных вкладов в дисперсию этого признака каждого из т общих и одного характерного фактора.
Компонент общей дисперсииназывается общностью показателя Zj, т.е. суммой относительных вкладов всех т общих факторов в дисперсию признака Zj. Вклад в дисперсию признака z ) характерного фактора Vj, или характерность, определяется слагаемым bj. В свою очередь дисперсия характерного фактора состоит из двух составляющих: связанной со спецификой параметра Sj и связанной с ошибками измерений Е у
Если факторы специфичности Sj и ошибки Ej некоррелированы между собой, то модель факторного анализа примет вид
Вклад характерного фактора в дисперсию признака может быть представлен следующим образом:
Если выделить из дисперсии признака составляющую ошибки, то получим характеристику, называемую надежностью:
Вклад фактора /,. в суммарную дисперсию всех признаков определяется соответствующей суммой квадратов коэффициентов при нормированных значениях:
Вклад всех общих факторов в суммарную дисперсию признаков рассчитывается как сумма вкладов всех факторов:
Отношение этой суммы к размерности исходного признакового пространства
называют полнотой факторизации.
Исходные данные матрицы X (или Z) позволяют получить матрицу парных коэффициентов корреляции R. Для воспроизведения всех связей переменных в корреляционной матрице может быть использована матрица К = (А В):
Введем обозначение для первого слагаемого – редуцированной корреляционной матрицы: /¾ = ЛЛ Т.
Матрицу ВВ" вследствие того, что В является диагональной матрицей, можно представить в виде ВВ Т = В 2.
Таким образом, матрица парных коэффициентов корреляции исходных показателей может быть представлена в виде суммы:
В то время как R является корреляционной матрицей с единицами на главной диагонали, матрица R h представляет собой корреляционную матрицу с общностями на главной диагонали.
Для стандартизованных исходных признаков 7 корреляционная матрица R тождественна ковариационной матрице 2. Если рассматривать данные как выборку из генеральной совокупности, то определенная по выборочным данным матрица 2 (или К) является оценкой истинной ковариационной (корреляционной) матрицы. Несмещенная оценка может быть получена в виде
Рассчитаем редуцированную корреляционную матрицу с учетом равенства (5.4), используя для восстановления нормированных исходных признаков только общие факторы:
Выражение, стоящее между А и А т, является корреляционной матрицей стохастических связей между общими факторами
При этом общее выражение для редуцированной корреляционной матрицы примет вид
Если общие факторы некоррелированы между собой, то матрица С будет единичной, и при этом
Два последних выражения представляют собой фундаментальную теорему факторного анализа.
Пример 5.2
По данным о численности (дг,) и фонде заработной платы (,v2) пяти строительных организаций проведем факторный анализ методом главных компонент. Дано:
Решение
Рассчитаем выборочные характеристики переменных т, и Выборочный коэффициент корреляции равен
Преобразуем матрицу X в матрицу нормированных значений Z с элементами , где
Матрица парных коэффициентов корреляции имеет вид
Для определения собственных значений матрицы R рассмотрим характеристическое уравнение
Отсюда следует, что
Так как по условию компонентного анализа, то, где,
– соответственно дисперсии и вклад первой и второй главных компонент в суммарную дисперсию, равную
Относительный вклад компонент в суммарную дисперсию равен Таким образом,
Определим матрицу собственных векторов из уравнения Собственный векторнаходим из условия
Подставляя полученные значения, получим
откудаили
Нормированный собственный вектор, соответствующий, равен
Собственный вектор V 2 найдем, решив уравнение
откуда.или
Нормированный собственный вектор, соответствующий Х2. равен
тогда нормированная матрица собственных векторов имеет вид
Матрицу факторных нагрузок найдем по формуле 
. Подставив полученные значения, получим
Матрицу факторных нагрузок используют для интерпретации главных компонент, так как элементы матрицы а }Х) = характеризуют тесноту связи между Хгм признаком и /0-й главной компонентой. В нашем примере первая главная компонента тесно связана с показателями.г, и.г2, а /, характеризует размер предприятия.
Матрицу значений главных компонент F можно получить по формуле
Предварительно найдем обратную матрицу. Так как то
Тогда 
Как уже отмечалось, матрица F. которую мы получили, характеризует пять строительных организаций в пространстве главных компонент. Ее можно использовать в задачах классификации и регрессионного анализа. Например, классификация организации но первой главной компоненте /, характеризующей размер предприятий, позволяет ранжировать их в порядке возрастания следующим образом: 4; 1:2: 5: 3. Значения главных компонент определены с точностью до знака, поэтому они могли бы оказаться противоположными для всех объектов, и проведенная ранжировка характеризовала бы размеры предприятий в порядке уменьшения. Определить правильность выбранного знака можно по значениям исходных показателей для крайних проранжированных объектов.
Пример 5.3
На основе информации о значениях семи исходных признаков получены два общих некоррелированных фактора. По известной матрице весовых коэффициентов двух общих факторов Л требуется воспроизвести редуцированную корреляционную матрицу R h, определить редуцированную корреляционную матрицу для случая использования только первого общего фактора R 1 и только второго общего фактора R" при условии, что дисперсия первого общего фактора больше, чем дисперсия второго.
Решение
1. Получим матрицу R h.
Произведем умножение матрицы А на А т и получим редуцированную корреляционную матрицу /?л. т.е. восстановленную из модели факторного анализа при условии, что факторы некоррелированы:
В матрице R /t на главной диагонали стоят дисперсии, представляющие общности, суммарный вклад в переменные имеющихся двух общих факторов.
2. Получим матрицу R 1.
Зададимся вопросом: что было бы, если бы мы пренебрегли вторым общим фактором и провели интерпретацию на основании только первого общего фактора? Какая редуцированная корреляционная матрица R 1 была бы воспроизведена?
Воспроизведенная, или редуцированная, по первому общему фактору матрица восстанавливает связи, объясняемые первым собственным вектором матрицы А. В матрице Д"на главной диагонали стоят вклады в дисперсию первого столбца фактора соответствующих переменных. Они совпадают с вкладами признаков в дисперсию первого фактора aj t.
Как первая, так и вторая воспроизведенные матрицы не отражают всей информации процесса. При этом вторая матрица R" отражает меньше информации, чем первая R 1. Это объясняется тем, что R 1 воспроизводит связи, соответствующие дисперсии первого фактора, которая больше дисперсии второго фактора. Однако и более полная матрица R/, не производит связей, определяемых характерными факторами, так как она объединяет весовые коэффициенты только общих факторов. Необъясненная же часть информации матрицами R/, и А приходится на характерные факторы.
При использовании факторного анализа исследователь сталкивается с различными проблемами. Наиболее часто они возникают в процессе содержательной интерпретации результатов анализа. Многие из проблем носят частный характер, не относящийся непосредственно к факторному анализу и присущий определенному классу задач, например наличие плохо обусловленных матриц парных коэффициентов корреляций, присущее классу экономико-статистических задач.
Среди проблем проведения факторного анализа можно выделить проблемы робастности, общности, выбора факторов, вращения факторов и оценки их значений и содержательной интерпретации, а также проблему построения динамических моделей.
В классическом факторном анализе на основе исходной таблицы "объект – признак" (см. табл. 5.6) формируется матрица нормированных значений исходных признаков. Опыт решения практических задач показывает, что наличие грубых ошибок данных при многомерном анализе может привести к дальнейшим трудностям. Малую чувствительность к наличию грубых ошибок данных обеспечивают робастные оценки параметров: среднего значения и дисперсии или среднего квадратического отклонения.
Рассчитываемая матрица парных коэффициентов корреляции является симметрической матрицей порядка к. Она является диагональной, и на се главной диагонали стоят единицы, соответствующие дисперсиям исходных нормированных показателей. Данная матрица R является исходной для проведения компонентного анализа. Для факторного анализа необходимо получить редуцированную матрицу /?/,.
Редуцированная корреляционная матрица /¾ служит основной для факторного анализа. Она также является симметрической порядка k, но на ее главной диагонали вместо единиц стоят общности hj. На основе этой матрицы рассчитывается матрица весовых коэффициентов Л. Ее элементы являются характеристиками стохастической связи между исходными признаками и общими факторами.
При переходе от редуцированной корреляционной матрицы к матрице весовых коэффициентов необходимо решить проблему нахождения факторов, включающую вопросы определения числа извлекаемых общих факторов и их вида. Значения весовых коэффициентов являются координатами признаков на новых осях координат. Этими координатными осями являются общие факторы. Чаще всего для их нахождения используется метод главных компонент.
Задача воспроизведения матрицы /?>, по матрице А не имеет однозначного решения. Выбор одной из возможных матриц является составной частью решения задачи вращения координатных осей.
После получения новой интегральной системы измерения – общих факторов – можно оценить значения индивидуальных факторов для каждого объекта исследования.
Сопоставление факторных решений в течение длительного периода обеспечивается динамическим моделированием, позволяющим выявить те признаки, влияние которых в будущем будет снижаться или, наоборот, возрастать.
Факторный анализ является одним из наиболее мощных статистических средств анализа данных. В его основе лежит процедура объединения групп коррелирующих друг с другом переменных («корреляционных плеяд» или «корреляционных узлов») в несколько факторов.
Иными словами, цель факторного анализа - сконцентрировать исходную информацию, выражая большое число рассматриваемых признаков через меньшее число более емких внутренних характеристик, которые, однако, не поддаются непосредственному измерению (и в этом смысле являются латентными).
Для примера гипотетически представим себе законодательный орган регионального уровня, состоящий из 100 депутатов. В числе разных вопросов повестки дня на голосование выносятся: а) законопроект, предлагающий восстановить памятник В.И. Ленину на центральной площади города - административного центра региона; б) обращение к Президенту РФ с требованием вернуть в государственную собственность все стратегические производства. Матрица сопряженности показывает следующее распределение голосов депутатов:
| Памятник Ленину (за) | Памятник Ленину (против) | |
| Обращение к Президенту (за) | 49 | 4 |
| Обращение к Президенту (против) | 6 | 41 |
Очевидно, что голосования статистически связаны: подавляющее большинство депутатов, поддерживающих идею восстановления памятника Ленину, поддерживают и возвращение в государственную собственность стратегических предприятий. Аналогичным образом большинство противников восстановления памятника являются в то же время и противниками возврата предприятий в госсобственность. При этом тематически голосования между собой совершенно не связаны.
Логично предположить, что выявленная статистическая связь обусловлена существованием некоторого скрытого (латентного) фактора. Законодатели, формулируя свою точку зрения по самым разнообразным вопросам, руководствуются ограниченным, небольшим набором политических позиций. В данном случае можно предположить наличие скрытого раскола депутатского корпуса по критерию поддержки/отвержения консервативно-социалистических ценностей. Выделяется группа «консерваторов» (согласно нашей таблице сопряженности - 49 депутатов) и их оппонентов (41 депутат). Выявив такие расколы, мы сможем описать большое число отдельных голосований через небольшое число факторов, которые являются латентными в том смысле, что мы не можем их обнаружить непосредственно: в нашем гипотетическом парламенте ни разу не проводилось голосование, в ходе которого депутатам предлагалось бы определить свое отношение к консервативно-социалистическим ценностям. Мы обнаруживаем наличие данного фактора, исходя из содержательного анализа количественных связей между переменными. Причем, если в нашем примере сознательно взяты номинальные переменные - поддержка законопроекта с категориями «за» (1) и «против» (0), - то в действительности факторный анализ эффективно обрабатывает интервальные данные.
Факторный анализ очень активно используется как в политической науке, так и в «соседних» социологии и психологии. Одна из важных причин большой востребованности данного метода состоит в разнообразии задач, которые можно решать с его помощью. Так, выделяются по крайней мере три «типовые» цели факторного анализа:
· уменьшение размерности (редукция) данных. Факторный анализ, выделяя узлы взаимосвязанных признаков и сводя их к неким обобщенным факторам, уменьшает исходный базис признаков описания. Решение этой задачи важно в ситуации, когда объекты измерены большим числом переменных и исследователь ищет способ сгруппировать их по смысловому признаку. Переход от множества переменных к нескольким факторам позволяет сделать описание более компактным, избавиться от малоинформативных и дублирующих переменных;
Выявление структуры объектов или признаков (классификация). Эта задача близка к той, которая решается методом кластер-анализа. Но если кластер-анализ принимает за «координаты» объектов их значения по нескольким переменным, то факторный анализ определяет положение объекта относительно факторов (связанных групп переменных). Иными словами, с помощью факторного анализа можно оценить сходство и различие объектов в пространстве их корреляционных связей, или в факторном пространстве. Координатными осями факторного пространства выступают полученные латентные переменные, на эти оси проецируются рассматриваемые объекты, что позволяет создать наглядное геометрическое представление изучаемых данных, удобное для содержательной интерпретации;
Косвенное измерение. Факторы, являясь латентными (эмпирически не наблюдаемыми), не поддаются непосредственному измерению. Однако факторный анализ позволяет не только выявить латентные переменные, но и оценить количественно их значение для каждого объекта.
Рассмотрим алгоритм и интерпретацию статистики факторного анализа на примере данных о результатах парламентских выборов в Рязанской области 1999 г. (общефедеральный округ). Для упрощения примера возьмем электоральную статистику только по тем партиям, которые преодолели 5%-ный барьер. Данные взяты в разрезе территориальных избирательных комиссий (по городам и районам области).
Первым шагом будет стандартизация данных путем перевода их в стандартные баллы (так называемые Л-баллы, рассчитываемые с помощью функции нормального распределения).
| ТИК (территориальная избирательная комиссия) | «Яблоко» | «Единство» | Блок Жириновского | ОВР | КПРФ | СПС |
| Ермишинская | 1,49 | 35,19 | 6,12 | 5,35 | 31,41 | 2,80 |
| Захаровская | 2,74 | 18,33 | 7,41 | 11,41 | 31,59 | л б 3 " |
| Кадомская | 1,09 | 29,61 | 8,36 | 5,53 | 35,87 | 1,94 |
| Касимовская | 1,30 | 39,56 | 5,92 | 5,28 | 29,96 | 2,37 |
| Касимовская городская | 3,28 | 39,41 | 5,65 | 6,14 | 24,66 | 4,61 |
| То же в стандартизированных баллах (г-баллах) | ||||||
| Ермишинская | -0,83 | 1,58 | -0,25 | -0,91 | -0,17 | -0,74 |
| Захаровская | -0,22 | -1,16 | 0,97 | 0,44 | -0,14 | 0,43 |
| Кадомская | -1,03 | 0,67 | 1,88 | -0,87 | 0,59 | -1,10 |
| Касимовская | -0,93 | 2,29 | -0,44 | -0,92 | -0,42 | -0,92 |
| Касимовская городская | 0,04 | 2,26 | -0,70 | -0,73 | -1,32 | 0,01 |
| И т.д. (всего 32 случая) | ||||||
| «Яблоко» | «Единство» | БЖ | ОВР | КПРФ | СПС | |
| «Яблоко» | ||||||
| «Единство» | -0,55 | |||||
| БЖ | -0,47 | 0,27 | ||||
| ОВР | 0,60 | -0,72 | -0,47 | |||
| КПРФ | -0,61 | 0,01 | 0,10 | -0,48 | ||
| СПС | 0,94 | -0,45 | -0,39 | 0,52 | -0,67 |
Уже визуальный анализ матрицы парных корреляций позволяет сделать предположения о составе и характере корреляционных плеяд. К примеру, положительные корреляции обнаруживаются для «Союза правых сил», «Яблока» и блока «Отечество - вся Россия» (пары «Яблоко» - ОВР, «Яблоко» - СПС и ОВР - СПС). Одновременно эти три переменные отрицательно коррелируют с КПРФ (поддержка КПРФ), в меньшей степени - с «Единством» (поддержка «Единства») и в еще меньшей - с переменной БЖ (поддержка «Блока Жириновского»). Таким образом, предположительно мы имеем две выраженные корреляционные плеяды:
(«Яблоко» + ОВР + СПС) - КПРФ;
(«Яблоко» + ОВР + СПС) - «Единство».
Это две разные плеяды, а не одна, так как между «Единством» и КПРФ связи нет (0,01). Относительно переменной БЖ предположение сделать сложнее, здесь корреляционные связи менее выражены.
Чтобы проверить наши предположения, необходимо ВЫЧИСлить собственные значения факторов (eigenvalues), факторные значения (factor scores) и факторные нагрузки (factor loadings) для каждой переменной. Такие расчеты достаточно сложны, требуют серьезных навыков работы с матрицами, поэтому здесь мы не станем рассматривать вычислительный аспект. Скажем лишь, что эти вычисления могут осуществляться двумя путями: методом главных компонент (principal components) и методом главных факторов (principal factors). Метод главных компонент более распространен, статистические программы используют его «по умолчанию».
Остановимся на интерпретации собственных значений, факторных значений и факторных нагрузок.
Собственные значения факторов для нашего случая таковы:
| Фактор | Собственное значение | % общей вариации |
| 1 | 3,52 | 58,75 |
| 2 | 1,14 | 19,08 |
| 3 | 0,76 | 12,64 |
| 4 | 0,49 | S.22 |
| 0,05 | 0.80 | |
| 6 | 0,03 | 0,51 |
| Всего | 6 | 100% |
Чем больше собственное значение фактора, тем больше его объяснительная сила (максимальное значение равно количеству переменных, в нашем случае 6). Одним из ключевых элементов статистики факторного анализа является показатель «% общей вариации» (% total variance). Он показывает, какую долю вариации (изменчивости) переменных объясняет извлеченный фактор. В нашем случае вес первого фактора превосходит вес всех остальных факторов, вместе взятых: он объясняет почти 59% общей вариации. Второй фактор объясняет 19% вариации, третий - 12,6% и т.д. по убывающей.
Имея собственные значения факторов, мы можем приступить к решению задачи сокращения размерности данных. Редукция произойдет за счет исключения из модели факторов, обладающих наименьшей объяснительной силой. И здесь ключевой вопрос состоит в том, сколько факторов оставить в модели и какими критериями при этом руководствоваться. Так, явно лишними являются факторы 5 и 6, в совокупности объясняющие чуть более 1% всей вариации. А вот судьба факторов 3 и 4 уже не столь очевидна.
Как правило, в модели остаются факторы, собственное значение которых превышает единицу (критерий Кайзера). В нашем случае это факторы 1 и 2. Однако полезно проверить корректность удаления четырех факторов с помощью других критериев. Одним из наиболее широко используемых методов является анализ «графика осыпи» (scree plot). Для нашего случая он имеет вид:
График получил свое название из-за сходства со склоном горы. «Осыпь» - геологический термин, обозначающий обломки горных пород, скапливающиеся в нижней части скалистого склона. «Скала» - это по-настоящему влиятельные факторы, «осыпь» - статистический шум. Образно говоря, нужно найти место на графике, где кончается «скала» и начинается «осыпь» (где убывание собственных значений слева направо сильно замедляется). В нашем случае выбор нужно сделать из первого и второго перегибов, соответствующих двум и четырем факторам. Оставив четыре фактора, мы получим очень высокую точность модели (более 98% общей вариации), но сделаем ее достаточно сложной. Оставив два фактора, мы будем иметь значительную необъясненную часть вариации (около 22%), но модель станет лаконичной и удобной в анализе (в частности, визуальном). Таким образом, в данном случае лучше пожертвовать некоторой долей точности в пользу компактности, оставив первый и второй факторы.
Проверить адекватность полученной модели можно с помощью специальных матриц воспроизведенных корреляций (reproduced correlations) и остаточных коэффициентов (residual correlations). Матрица воспроизведенных корреляций содержит коэффициенты, которые удалось восстановить по двум оставленным в модели факторам. Особое значение в ней имеет главная диагональ, на которой расположены общности переменных (в таблице выделены курсивом), которые показывают, насколько точно модель воспроизводит корреляцию переменной с той же переменной, которая должна составлять единицу.
Матрица остаточных коэффициентов содержит разность между исходным и воспроизведенным коэффициентами. Например, воспроизведенная корреляция между переменными СПС и «Яблоко» составляет 0,88, исходная - 0,94. Остаток = 0,94 - 0,88 = 0,06. Чем ниже значения остатков, тем выше качество модели.
| Воспроизведенные корреляции | ||||||
| «Яблоко» | «Единство» | БЖ | ОВР | КПРФ | СПС | |
| «Яблоко» | 0,89 | |||||
| «Единство» | -0,53 | 0,80 | ||||
| БЖ | -0,47 | 0,59 | 0,44 | |||
| ОВР | 0,73 | -0,72 | -0,56 | 0,76 | ||
| КПРФ | -0,70 | 0,01 | 0,12 | -0,34 | 0,89 | |
| СПС | 0,88 -0,43 | -0,40 | 0,66 | -0,77 | 0,88 | |
| Остаточные коэффициенты | ||||||
| «Яблоко» | «Единство» | БЖ | ОВР | КПРФ | СПС | |
| «Яблоко» | 0,11 | |||||
| «Единство» | -0,02 | 0,20 | ||||
| БЖ | 0,00 | -0,31 | 0,56 | |||
| ОВР | -0,13 | -0,01 | 0,09 | 0,24 | ||
| КПРФ | 0,09 | 0,00 | -0,02 | -0,14 | 0,11 | |
| СПС | 0,06 | -0,03 | 0,01 | -0,14 | 0,10 | 0,12 |
Как видно из матриц, двухфакторная модель, будучи в целом адекватной, плохо объясняет отдельные связи. Так, очень низкой является общность переменной БЖ (всего 0,56), слишком велико значение остаточного коэффициента связи БЖ и «Единства» (-0,31).
Теперь необходимо решить, насколько важным для данного конкретного исследования является адекватное представление переменной БЖ. Если важность высока (к примеру, если исследование посвящено анализу электората именно этой партии), корректно вернуться к четырехфакторной модели. Если нет, можно оставить два фактора.
Принимая во внимание учебный характер наших задач, оставим более простую модели.
Факторные нагрузки можно представить как коэффициенты корреляции каждой переменной с каждым из выявленных факторов 1ак, корреляция между значениями первой факторной переменной и значениями переменной «Яблоко» составляет -0,93. Все факторные нагрузки приводятся в матрице факторного отображения-
Чем теснее связь переменной с рассматриваемым фактором, тем выше значение факторной нагрузки. Положительный знак факторной нагрузки указывает на прямую, а отрицательный знак - на обратную связь переменной с фактором.
Имея значения факторных нагрузок, мы можем построить геометрическое представление результатов факторного анализа. По оси X отложим нагрузки переменных на фактор 1, по оси Y- нагрузки переменных на фактор 2 и получим двухмерное факторное пространство.
Перед тем как приступить к содержательному анализу полученных результатов, осуществим еще одну операцию - вращение (rotation). Важность этой операции продиктована тем, что существует не один, а множество вариантов матрицы факторных нагрузок, в равной степени объясняющих связи переменных (матрицу интеркорреляций). Необходимо выбрать такое решение, которое проще интерпретировать содержательно. Таковым считается матрица нагрузок, в которой значения каждой переменной по каждому фактору максимизированы или минимизированы (приближены к единице или к нулю).
Рассмотрим схематичный пример. Имеется четыре объекта, расположенных в факторном пространстве следующим образом:
 |
Нагрузки на оба фактора для всех объектов существенно отличны от нуля, и мы вынуждены привлекать оба фактора для интерпретации положения объектов. Но если «повернуть» всю конструкцию по часовой стрелке вокруг пересечения осей координат, получим следующую картинку:
В данном случае нагрузки на фактор 1 будут близки к нулю, а нагрузки на фактор 2 - к единице (принцип простой структуры). Соответственно, для содержательной интерпретации положения объектов мы будем привлекать только один фактор - фактор 2.
Существует довольно большое количество методов вращения факторов. Так, группа методов ортогонального вращения всегда сохраняет прямой угол между координатными осями. К таковым относятся vanmax (минимизирует количество переменных с высокой факторной нагрузкой), quartimax (минимизирует количество факторов, необходимых для объяснения переменной), equamax (сочетание двух предыдущих методов). Методы косоугольного вращения не обязательно сохраняют прямой угол между осями (например, direct obiimin). Метод promax представляет собой сочетание ортогонального и косоугольного методов вращения. В большинстве случаев используется метод vanmax, который дает хорошие результаты применительно и к большинству задач политических исследований. Кроме того, как и в процессе применения многих других методов, рекомендуется поэкспериментировать с различными техниками вращения.
В нашем примере после вращения методом varimax получаем следующую матрицу факторных нагрузок:
Соответственно, геометрическое представление факторного пространства будет иметь вид:
Теперь можно приступить к содержательной интерпретации полученных результатов. Ключевую оппозицию - электоральный раскол - по первому фактору формируют КПРФ с одной стороны и «Яблоко» и СПС (в меньшей степени ОВР) - с другой. Содержательно - исходя из специфики идеологических установок названных субъектов избирательного процесса - мы можем интерпретировать данное размежевание как «лево-правый» раскол, являющийся «классическим» для политической науки.
Оппозицию по фактору 2 формируют ОВР и «Единство». К последнему примыкает «Блок Жириновского», но достоверно судить о его положении в факторном пространстве мы не можем в силу особенностей модели, которая плохо объясняет связи именно этой переменной. Чтобы объяснить такую конфигурацию, необходимо вспомнить политические реалии избирательной кампании 1999 г. Тогда борьба внутри политической элиты привела к формированию двух эшелонов «партии власти» - блоков «Единство» и «Отечество - вся Россия». Различие между ними не носило идеологического характера: фактически населению предложили выбирать не из двух идейных платформ, а из двух элитных групп, каждая из которых располагала существенными властными ресурсами и региональной поддержкой. Таким образом, этот раскол можно интерпретировать как «властно-элитный» (или, несколько упрощая, «власть - оппозиция»).
В целом мы получаем геометрическое представление некоего электорального пространства Рязанской области для данных выборов, если понимать электоральное пространство как пространство электорального выбора, структуру ключевых политических альтернатив («расколов»). Комбинация именно этих двух расколов была очень типична для парламентских выборов 1999 г.
Сопоставляя результаты факторного анализа для одного и того же региона на разных выборах, мы можем судить о наличии преемственности в конфигурации пространства электорального выбора территории. К примеру, факторный анализ федеральных парламентских выборов (1995, 1999 и 2003 гг.), проходивших в Татарстане, показал устойчивую конфигурацию электорального пространства. Для выборов 1999 г. в модели оставлен всего один фактор с объяснительной силой 83% вариации, что сделало невозможным построение двухмерной диаграммы. В соответствующем столбце приведены факторные нагрузки.
Если внимательно присмотреться к этим результатам, можно заметить, что в республике от выборов к выборам воспроизводится один и тот же основной раскол: «"партия власти” - все остальные». «Партией власти» в 1995 г. выступал блок «Наш дом - Россия» (НДР), в 1999 г. - ОВР, в 2003 г. - «Единая Россия». С течением времени меняются лишь «детали» - название «партии власти». Новый политический «лейбл» очень легко ложится в статичную матрицу одномерного политического выбора.
В заключение главы дадим один практический совет. Успешность освоения статистических методов по большому счету возможна только при интенсивной практической работе со специальными программами (уже неоднократно упомянутые SPSS, Statistica или хотя бы Microsoft Excel). Не случайно изложение статистических техник ведется нами в режиме алгоритмов работы: это позволяет студенту самостоятельно пройти все стадии анализа, сидя за компьютером. Без попыток практического анализа реальных данных представление о возможностях статистических методов в политическом анализе неизбежно останется общим и абстрактным. А на сегодняшний день умение применять статистику для решения и теоретических, и прикладных задач - принципиально важная составляющая модели специалиста-политолога.
Контрольные вопросы и задания
1. Каким уровням измерения соответствуют средние величины - мода, медиана, среднее арифметическое? Какие меры вариации характерны для каждой из них?
2. В силу каких причин необходимо учитывать форму распределения переменных?
3. Что означает утверждение: «Между двумя переменными имеется статистическая связь»?
4. Какую полезную информацию о связях между переменными можно получить на основе анализа таблиц сопряженности?
5. Что можно узнать о связи между переменными, исходя из значений статистических критериев хи-квадрат и лямбда?
6. Дайте определение понятию «ошибка» в статистических исследованиях. Каким образом по данному показателю можно судить о качестве построенной статистической модели?
7. Какова основная цель корреляционного анализа? Какие характеристики статистической связи выявляет данный метод?
8. Как интерпретировать значение коэффициента корреляции Пирсона?
9. Охарактеризуйте метод дисперсионного анализа. В каких других статистических методах используется статистика дисперсионного анализа и для чего?
10. Объясните значение понятия «нулевая гипотеза».
11. Что такое линия регрессии, каким методом она строится?
12. Что показывает коэффициент R в итоговой статистике регрессионного анализа?
13. Поясните термин «метод многомерной классификации».
14. Объясните основные различия между кластеризацией посредством иерархического кластер-анализа и методом К-средних.
15. Каким образом кластер-анализ может использоваться при изучении имиджа политических лидеров?
16. Какова основная задача, решаемая посредством дискриминантного анализа? Дайте определение дискриминантной функции.
17. Назовите три класса задач, решаемых с помощью факторного анализа. Конкретизируйте понятие «фактор».
18. Дайте характеристику трем основным методам проверки качества модели в факторном анализе (критерий Кайзера, критерий «осыпи», матрица воспроизведенных корреляций).
Идея факторного анализа
При исследовании сложных объектов, явлений, систем факторы, определяющие свойства этих объектов, очень часто невозможно измерить непосредственно, а иногда неизвестно даже их число и смысл. Но для измерения могут быть доступны другие величины, так или иначе зависящие от интересующих нас факторов. Причем, когда влияние неизвестного интересующего нас фактора проявляется в нескольких измеряемых признаках или свойствах объекта, эти признаки могут обнаруживать тесную связь между собой и общее число факторов может быть гораздо меньше, чем число измеряемых переменных.
Для выявления факторов, определяющих измеряемые признаки объектов, используются методы факторного анализа
В качестве примера применения факторного анализа можно указать изучение свойств личности на основе психологических тестов. Свойства личности не поддаются прямому измерению. О них можно судить только по поведению человека или характеру ответов на вопросы. Для объяснения результатов опытов их подвергают факторному анализу, который и позволяет выявить те личностные свойства, которые оказывают влияние на поведение индивидуума.
В основе различных методов факторного анализа лежит следующая гипотеза: наблюдаемые или измеряемые параметры являются лишь косвенными характеристиками изучаемого объекта, в действительности существуют внутренние (скрытые, латентные, не наблюдаемые непосредственно) параметры и свойства, число которых мало и которые определяют значения наблюдаемых параметров. Эти внутренние параметры принято называть факторами.
Цель факторного анализа – сконцентрировать исходную информацию, выражая большое число рассматриваемых признаков через меньшее число более ёмких внутренних характеристик явления, которые, однако, не поддаются непосредственному измерению
Установлено, что выделение и последующее наблюдение за уровнем общих факторов даёт возможность обнаруживать предотказные состояния объекта на очень ранних стадиях развития дефекта. Факторный анализ позволяет отслеживать стабильность корреляционных связей между отдельными параметрами. Именно корреляционные связи между параметрами, а также между параметрами и общими факторами содержат основную диагностическую информацию о процессах. Применение инструментария пакета Statistica при выполнении факторного анализа исключает необходимость использования дополнительных вычислительных средств и делает анализ наглядным и понятным для пользователя.
Результаты факторного анализа будут успешными, если удается дать интерпретацию выявленных факторов, исходя из смысла показателей, характеризующих эти факторы. Данная стадия работы весьма ответственная; она требует чёткого представления о содержательном смысле показателей, которые привлечены для анализа и на основе которых выделены факторы. Поэтому при предварительном тщательном отборе показателей для факторного анализа следует руководствоваться их смыслом, а не стремлением к включению в анализ как можно большего их числа.
Сущность факторного анализа
Приведём несколько основных положений факторного анализа. Пусть для матрицы Х измеренных параметров объекта существует ковариационная (корреляционная) матрица C , где р – число параметров, n – число наблюдений. Путем линейного преобразования X =QY +U можно уменьшить размерность исходного факторного пространства Х до уровня Y , при этом р "<<р . Это соответствует преобразованию точки, характеризующей состояние объекта в j -мерном пространстве, в новое пространство измерений с меньшей размерностью р ". Очевидно, что геометрическая близость двух или множества точек в новом факторном пространстве означает стабильность состояния объекта.
Матрица Y содержит ненаблюдаемые факторы, которые по существу являются гиперпараметрами, характеризующими наиболее общие свойства анализируемого объекта. Общие факторы чаще всего выбирают статистически независимыми, что облегчает их физическую интерпретацию. Вектор наблюдаемых признаков Х имеет смысл следствия изменения этих гиперпараметров.
Матрица U
состоит из остаточных факторов, которые включают в основном ошибки измерения признаков x
(i
). Прямоугольная матрица Q
содержит факторные нагрузки, определяющие линейную связь между признаками и гиперпараметрами.
Факторные нагрузки – это значения коэффициентов корреляции каждого из исходных признаков с каждым из выявленных факторов. Чем теснее связь данного признака с рассматриваемым фактором, тем выше значение факторной нагрузки. Положительный знак факторной нагрузки указывает на прямую (а отрицательный знак – на обратную) связь данного признака с фактором.
Таким образом, данные о факторных нагрузках позволяют сформулировать выводы о наборе исходных признаков, отражающих тот или иной фактор, и об относительном весе отдельного признака в структуре каждого фактора.
Модель факторного анализа похожа на модели многомерного регрессионного и дисперсионного анализа. Принципиальное отличие модели факторного анализа в том, что вектор Y – это ненаблюдаемые факторы, а в регрессионном анализе – это регистрируемые параметры. В правой части уравнения (8.1) неизвестными являются матрица факторных нагрузок Q и матрица значений общих факторов Y.
Для нахождения матрицы факторных нагрузок используют уравнениеQQ т =S–V,
где Q т – транспонированная матрица Q, V – матрица ковариаций остаточных факторов U, т.е. . Уравнение решается путем итераций при задании некоторого нулевого приближения ковариационной матрицы V(0).
После нахождения матрицы факторных нагрузок Q вычисляются общие факторы (гиперпараметры) по уравнению
Y=(Q т V -1)Q -1 Q т V -1 X
Пакет статистического анализа Statistica позволяет в диалоговом режиме вычислить матрицу факторных нагрузок, а также значения нескольких заранее заданных главных факторов, чаще всего двух – по первым двум главным компонентам исходной матрицы параметров.
Факторный анализ в системе Statistica
Рассмотрим последовательность выполнения факторного анализа на примере обработки результатов анкетного опроса работников предприятия . Требуется выявить основные факторы, которые определяют качество трудовой жизни.
На первом этапе необходимо отобрать переменные для проведения факторного анализа. Используя корреляционный анализ, исследователь пытается выявить взаимосвязь исследуемых признаков, что, в свою очередь, даёт ему возможность выделить полный и безызбыточный набор признаков путём объединения сильно коррелирующих признаков.
Если проводить факторный анализ по всем переменным, то результаты могут получиться не совсем объективными, так как некоторые переменные определяется другими данными, и не могут регулироваться сотрудниками рассматриваемой организации.
Для того чтобы понять, какие показатели следует исключить, построим по имеющимся данным матрицу коэффициентов корреляции в Statistica: Statistics/ Basic Statistics/ Correlation Matrices/ Ok. В стартовом окне этой процедуры Product-Moment and Partial Correlations (рис. 4.3) для расчёта квадратной матрицы используется кнопка One variable list. Выбираем все переменные (select all), Ok, Summary. Получаем корреляционную матрицу.
Если коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0,7 до 1, то это означает сильную корреляцию показателей. В этом случае можно исключить одну переменную с сильной корреляцией. И наоборот, если коэффициент корреляции мал, можно исключить переменную из-за того, что она ничего не добавит к общей сумме. В нашем случае сильной корреляции между какими-либо переменными не наблюдается, и факторный анализ будем проводить для полного набора переменных.
Для запуска факторного анализа необходимо вызвать модуль Statistics/ Multivariate Exploratory Techniques (многомерные исследовательские методы)/ Factor Analysis (факторный анализ). На экране появится окно модуля Factor Analysis.
Для анализа выбираем все переменные электронной таблицы; Variables (переменные): select all, Ok. В строке Input file (тип файла входных данных) указывается Raw Data (исходные данные). В модуле возможны два типа исходных данных – Raw Data (исходные данные) и Correlation Matrix – корреляционная матрица.
В разделе MD deletion задаётся способ обработки пропущенных значений:
* Casewise – способ исключения пропущенных значений (по умолчанию);
* Pairwise – парный способ исключения пропущенных значений;
* Mean substitution – подстановка среднего вместо пропущенных значений.
Способ Casewise состоит в том, что в электронной таблице, содержащей данные, игнорируются все строки, в которых имеется хотя бы одно пропущенное значение. Это относится ко всем переменным. В способе Pairwise игнорируются пропущенные значения не для всех переменных, а лишь для выбранной пары.
Выберем способ обработки пропущенных значений Casewise.
Statistica обработает пропущенные значения тем способом, который указан, вычислит корреляционную матрицу и предложит на выбор несколько методов факторного анализа.
После нажатия кнопки Ok появляется окно Define Method of Factor Extraction (определить метод выделения факторов).
Верхняя часть окна является информационной. Здесь сообщается, что пропущенные значения обработаны методом Casewise. Обработано 17 наблюдений и 17 наблюдений принято для дальнейших вычислений. Корреляционная матрица вычислена для 7 переменных. Нижняя часть окна содержит 3 вкладки: Quick, Advanced, Descriptives.
Во вкладке Descriptives (описательные статистики) имеются две кнопки:
1- просмотреть корреляции, средние и стандартные отклонения;
2- построить множественную регрессию.
Нажав на первую кнопку, можно посмотреть средние и стандартные отклонения, корреляции, ковариации, построить различные графики и гистограммы.
Во вкладке Advanced, в левой части, выберем метод (Extraction method) факторного анализа: Principal components (метод главных компонент). В правой части выбираем максимальное число факторов (2). Задаётся либо максимальное число факторов (Max no of factors), либо минимальное собственное значение: 1 (eigenvalue).
Нажимаем Ok, и Statistica быстро произвёдет вычисления. На экране появляется окно Factor Analysis Results (результаты факторного анализа). Как говорилось ранее, результаты факторного анализа выражаются набором факторных нагрузок. Поэтому далее будем работать с вкладкой Loadings.
Верхняя часть окна – информационная:
Number of variables (число анализируемых переменных): 7;
Method (метод выделения факторов): Principal components (главных компонент);
Log (10) determinant of correlation matrix (десятичный логарифм детерминанта корреляционной матрицы): –1,6248;
Number of factors extracted (число выделенных факторов): 2;
Eigenvalues (собственные значения): 3,39786 и 1,19130.
В нижней части окна находятся функциональные кнопки, позволяющие всесторонне просмотреть результаты анализа, числено и графически.
Factor rotation – вращение факторов, в данном выпадающем окне можно выбрать различные повороты осей. С помощью поворота системы координат можно получить множество решений, из которого необходимо выбрать интерпретируемое решение.
Существуют различные методы вращения координат пространства. Пакет Statistica предлагает восемь таких методов, представленных в модуле факторного анализа. Так, например, метод варимакс соответствует преобразованию координат: вращение, максимизирующее дисперсию. В методе варимакс получают упрощённое описание столбцов факторной матрицы, сводя все значения к 1 или 0. При этом рассматривается дисперсия квадратов нагрузок фактора. Факторная матрица, получаемая с помощью метода вращения варимакс, в большей степени инвариантна по отношению к выбору различных множеств переменных.
Вращение методом квартимакс ставит целью аналогичное упрощение только по отношению к строкам факторной матрицы. Эквимакс занимает промежуточное положение? при вращении факторов по этому методу одновременно делается попытка упростить и столбцы, и строки. Рассмотренные методы вращения относятся к ортогональным вращениям, т.е. в результате получаются некоррелированные факторы. Методы прямого облимина и промакс вращения относятся к косоугольным вращениям, в результате которых получаются коррелированные между собой факторы. Термин?normalized? в названиях методов указывает на то, что факторные нагрузки нормируются, то есть делятся на квадратный корень из соответствующей дисперсии.
Из всех предлагаемых методов, мы сначала посмотрим результат анализа без вращения системы координат – Unrotated. Если полученный результат окажется интерпретируемым и будет нас устраивать, то на этом можно остановиться. Если нет, можно вращать оси и посмотреть другие решения.
Щёлкаем по кнопке "Factor Loading" и смотрим факторные нагрузки численно.
Напомним, что факторные нагрузки – это значения коэффициентов корреляции каждой из переменных с каждым из выявленных факторов.
Значение факторной нагрузки, большее 0,7 показывает, что данный признак или переменная тесно связан с рассматриваемым фактором. Чем теснее связь данного признака с рассматриваемым фактором, тем выше значение факторной нагрузки. Положительный знак факторной нагрузки указывает на прямую (а отрицательный знак? на обратную) связь данного признака с фактором.
Итак, из таблицы факторных нагрузок было выявлено два фактора. Первый определяет ОСБ – ощущение социального благополучия. Остальные переменные обусловлены вторым фактором.
В строке Expl. Var (рис. 8.5) приведена дисперсия, приходящаяся на тот или иной фактор. В строке Prp. Totl приведена доля дисперсии, приходящаяся на первый и второй фактор. Следовательно, на первый фактор приходится 48,5 % всей дисперсии, а на второй фактор – 17,0 % всей дисперсии, всё остальное приходится на другие неучтенные факторы. В итоге, два выявленных фактора объясняют 65,5 % всей дисперсии.
Здесь мы также видим две группы факторов – ОСБ и остальное множество переменных, из которых выделяется ЖСР – желание сменить работу. Видимо, имеет смысл исследовать это желание более основательно на основе сбора дополнительных данных.
Выбор и уточнение количества факторов
Как только получена информация о том, сколько дисперсии выделил каждый фактор, можно возвратиться к вопросу о том, сколько факторов следует оставить. По своей природе это решение произвольно. Но имеются некоторые общеупотребительные рекомендации, и на практике следование им даёт наилучшие результаты.
Количество общих факторов (гиперпараметров) определяется путём вычисления собственных чисел (рис. 8.7) матрицы Х в модуле факторного анализа. Для этого во вкладке Explained variance (рис. 8.4) необходимо нажать кнопку Scree plot. 
Максимальное число общих факторов может быть равно количеству собственных чисел матрицы параметров. Но с увеличением числа факторов существенно возрастают трудности их физической интерпретации.
Сначала можно отобрать только факторы, с собственными значениями, большими 1. По существу, это означает, что если фактор не выделяет дисперсию, эквивалентную, по крайней мере, дисперсии одной переменной, то он опускается. Этот критерий используется наиболее широко. В приведённом выше примере на основе этого критерия следует сохранить только 2 фактора (две главные компоненты).
Можно найти такое место на графике, где убывание собственных значений слева направо максимально замедляется. Предполагается, что справа от этой точки находится только "факториальная осыпь". В соответствии с этим критерием можно оставить в примере 2 или 3 фактора.
Из рис. видно, что третий фактор незначительно увеличивает долю общей дисперсии.
Факторный анализ параметров позволяет выявить на ранней стадии нарушение рабочего процесса (возникновение дефекта) в различных объектах, которое часто невозможно заметить путём непосредственного наблюдения за параметрами. Это объясняется тем, что нарушение корреляционных связей между параметрами возникает значительно раньше, чем изменение одного параметра. Такое искажение корреляционных связей позволяет своевременно обнаружить факторный анализ параметров. Для этого достаточно иметь массивы зарегистрированных параметров.
Можно дать общие рекомендации по использованию факторного анализа вне зависимости от предметной области.
* На каждый фактор должно приходиться не менее двух измеренных параметров.
* Число измерений параметров должно быть больше числа переменных.
* Количество факторов должно обосновываться, исходя из физической интерпретации процесса.
* Всегда следует добиваться того, чтобы количество факторов было намного меньше числа переменных.
Критерий Кайзера иногда сохраняет слишком много факторов, в то время как критерий каменистой осыпи иногда сохраняет слишком мало факторов. Однако оба критерия вполне хороши при нормальных условиях, когда имеется относительно небольшое число факторов и много переменных. На практике более важен вопрос о том, когда полученное решение может быть интерпретировано. Поэтому обычно исследуется несколько решений с большим или меньшим числом факторов, и затем выбирается одно наиболее осмысленное.
Пространство исходных признаков должно быть представлено в однородных шкалах измерения, т. к. это позволяет при вычислении использовать корреляционные матрицы. В противном случае возникает проблема "весов" различных параметров, что приводит к необходимости применения при вычислении ковариационных матриц. Отсюда может появиться дополнительная проблема повторяемости результатов факторного анализа при изменении количества признаков. Следует отметить, что указанная проблема просто решается в пакете Statistica путем перехода к стандартизированной форме представления параметров. При этом все параметры становятся равнозначными по степени их связи с процессами в объекте исследования.
Если в наборе исходных данных имеются избыточные переменные и не проведено их исключение корреляционным анализом, то нельзя вычислить обратную матрицу (8.3). Например, если переменная является суммой двух других переменных, отобранных для этого анализа, то корреляционная матрица для такого набора переменных не может быть обращена, и факторный анализ принципиально не может быть выполнен. На практике это происходит, когда пытаются применить факторный анализ к множеству сильно зависимых переменных, что иногда случается, например, в обработке вопросников. Тогда можно искусственно понизить все корреляции в матрице путём добавления малой константы к диагональным элементам матрицы, и затем стандартизировать её. Эта процедура обычно приводит к матрице, которая может быть обращена, и поэтому к ней применим факторный анализ. Более того, эта процедура не влияет на набор факторов, но оценки оказываются менее точными.
Факторное и регрессионное моделирование систем с переменными состояниямиСистемой с переменными состояниями (СПС) называется система, отклик которой зависит не только от входного воздействия, но и от обобщенного постоянного во времени параметра, определяющего состояние. Регулируемый усилитель или аттенюатор? это пример простейшей СПС, в котором коэффициент передачи может дискретно или плавно изменяться по какому-либо закону. Исследование СПС обычно проводится для линеаризованных моделей, в которых переходный процесс, связанный с изменением параметра состояния, считается завершённым.
Аттенюаторы, выполненные на основе Г-, Т- и П-образного соединения последовательно и параллельно включённых диодов получили наибольшее распространение. Сопротивление диодов под воздействием управляющего тока может меняться в широких пределах, что позволяет изменять АЧХ и затухание в тракте. Независимость фазового сдвига при регулировании затухания в таких аттенюаторах достигается с помощью реактивных цепей, включенных в базовую структуру. Очевидно, что при разном соотношении сопротивлений параллельных и последовательных диодов может быть получен один и тот же уровень вносимого ослабления. Но изменение фазового сдвига будет различным.
Исследуем возможность упрощения автоматизированного проектирования аттенюаторов, исключающего двойную оптимизацию корректирующих цепей и параметров управляемых элементов. В качестве исследуемой СПС будем использовать электрически управляемый аттенюатор, схема замещения которого приведена на рис. 8.8. Минимальный уровень затухания обеспечивается в случае малого сопротивления элемента Rs и большого сопротивления элемента Rp. По мере увеличения сопротивления элемента Rs и уменьшения сопротивления элемента Rp вносимое ослабление увеличивается.
Зависимости изменения фазового сдвига от частоты и затухания для схемы без коррекции и с коррекцией приведены на рис. 8.9 и 8.10 соответственно. В корректированном аттенюаторе в диапазоне ослаблений 1,3-7,7 дБ и полосе частот 0,01?4,0 ГГц достигнуто изменение фазового сдвига не более 0,2°. В аттенюаторе без коррекции изменение фазового сдвига в той же полосе частот и диапазоне ослаблений достигает 3°. Таким образом, фазовый сдвиг уменьшен за счет коррекции почти в 15 раз.
Будем считать параметры коррекции и управления независимыми переменными или факторами, влияющими на затухание и изменение фазового сдвига. Это даёт возможность с помощью системы Statistica провести факторный и регрессионный анализ СПС с целью установления физических закономерностей между параметрами цепи и отдельными характеристиками, а также упрощения поиска оптимальных параметров схемы.
Исходные данные формировались следующим образом. Для параметров коррекции и сопротивлений управления, отличающихся от оптимальных в большую и меньшую стороны на сетке частот 0,01?4 ГГц, были вычислены вносимое ослабление и изменение фазового сдвига.
Методы статистического моделирования, в частности, факторный и регрессионный анализ, которые раньше не использовались для проектирования дискретных устройств с переменными состояниями, позволяют выявить физические закономерности работы элементов системы. Это способствует созданию структуры устройства исходя из заданного критерия оптимальности. В частности, в данном разделе рассматривался фазоинвариантный аттенюатор как типичный пример системы с переменными состояниями. Выявление и интерпретация факторных нагрузок, влияющих на различные исследуемые характеристики, позволяет изменить традиционную методологию и существенно упростить поиск параметров коррекции и параметров регулирования.
Установлено, что использование статистического подхода к проектированию подобных устройств оправдано как для оценки физики их работы, так и для обоснования принципиальных схем. Статистическое моделирование позволяет существенно сократить объём экспериментальных исследований.
Результаты
